网站首页  |   学校概况  |   健康教育  |   学校管理  |   校园动态  |   特色教育  |   名师风范  |   学子风采  |   招生专栏  |   家校共育  |   合作交流  |   办学成果  |  

共有 52 位读者读过此文 【选择字体颜色】: 【字体:放大 正常 缩小】     【双击自动滚屏】【图片滚轮变焦】

巧用“平移”思想解题

发表日期:2021-02-23 10:59   作者:佚名 【编辑录入:admin】

  “平移”是坐标平面内经常用到的数学思想。平移主要考虑两个内容:一是平移的方向,而是平移的距离。如果知道这两个内容,就可以得出某一个点经过平移后所得到的点的坐标。

  例1、如图所示,三架飞机A、B、C保持编队飞行,飞行10分钟后,飞机A飞行到A’的位置,此时飞机B、C飞到的位置的坐标分别是。

  (已知A(-1,1),B(-3,-1),C(-1,-1),A’(4,3))

  分析:飞机A的坐标是(-1,1),飞到的位置A’的坐标是(4,3),利用平移的思想进行考虑,可以认为飞机A先向右平移4个单位长度,然后再向上平移3个单位到达点A’的位置。题目中已经说明三架飞机保持编队飞行,所以飞机B、C飞行到的位置也就符合上述的平移变换。所以飞机B飞行到的位置B’就相当于先向右平移4个单位长度,然后再向上平移3个单位,飞机C飞到的位置也是如此(如图2所示)。

  答:飞机B飞到的位置B’的坐标是(4,1),飞机C飞到的位置C’的坐标是(2,3)。

  例2、如图3所示在平面直角坐标系中,有以下几点:A(-3,4)、B(-6,-2)、C(6,-2)。如果以A、B、C为顶点,作一个平行四边形,试写出第四个顶点的位置坐标。

  分析:

  如果一个平行四边形已知其中的三个顶点,求第四个顶点的位置,可以有三种情况,所以本题目中的第四个点D的位置有图4、图5、图6三种情况。本题的难点不是如何确定第四个顶点的数量,而是如何求出第四个顶点的坐标。根据平行四边形的特点,可以利用平移的思想进行考虑。

  例如图4中点D的得出可以通过点A的平移来判断,平移的距离相当于BC的长度,因为CB与AD平行,所以平移的方向相当于从点C到点B的方向。点B相当于点C向左平移12个单位长度得到的,所以点A也向左平移12个单位长度就可以得到点D,因为点A的坐标是(-3,4),所以点D的坐标是(-15,4)。图5中点A的平移过程相当于从点B到点C的平移过程,图6中点B的平移过程相当于从点A到点C的平移过程。

  解:第四个顶点D的坐标可以有三种情况,分别是:(-15,4)或(9,4)或(3,-8)。

  练习:四边形ABCD在直角坐标系中各顶点的坐标如下:A(-2,2),B(-3,-2),C(3,-2),D(2,2)。如果把四边形ABCD平移到A’B’C’D’的位置,平移后点A’的坐标是(2,5),求出其他各点B’、C’、D’的坐标。

  巧用平移妙解面积问题

  求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一,解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移,使分散、零碎的图形得以集中,从而方便运用整体思想进行求解.

  例1如图1-1是小明家一个长方形花坛,空白部分准备用于种花,种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米,小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米?

  析解:采用平移,将小正方形向上平移到边缘,如图1-2所以.由已知易得种花部分是长方形,长为大正方形的边长减去小长方形的边长,即7-3=4(米),宽恰好是小正方形的边长3米.因此,种花的面积为3×4=12(平方米).

  想一想:如果图形不加处理,解题思路又是怎样的呢?

  例2如图2-1,某小区规划在一个长为AD=40米,宽为AB=26米的长方形场地ABCD上,修建三条宽都是2米的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.问种草区域的面积是多少?

  析解:将图2-1的小路分别沿BA,BC平移到如图2-2所示的位置,则易知种草的长方形的长为40-2×2=36(米),宽为26-2=24(米),所以,种草区域的面积为36×24=864(平方米).

  想一想:如果图形不加处理,分别求出三条小路的面积,然后用场地的总面积减去三条小路的面积,求得种草区域的面积.与运用平移来解,感觉怎样?

  例3如图3-1所示,在一块长为24米,宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路,你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗?

  析解:小路的面积只与小路的宽度和长度有关,与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分,平移后如图3-2所示.这时,绿地转化为长22米,宽18米的长方形,可求得绿地的面积为:22×18=396(平方米).

  想一想:直接求小路的面积是无法求解的,

  那么,本题中将曲折的小路进行平移,意义何在?

  图形的平移在解题中的应用

  平移是图形的一种重要变换.在实际解题中,若我们能恰当地运用图形的平移变换,往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易、出奇制胜的效果.请看下面几例:

  一、变换图形的形状的问题.

  例14根火柴棒形成如图所示的象形“口”字,平移火柴棒后,原图形能变成的象形汉字是()

  A. B. C. D.

  解析此题必须认真观察与审题,由于四种图形都由4根火柴组成,所以要根据平移的定义与意义去判断.在原图中,上、下两根火柴带火药的一端方向相同,且均向左;左、右两根火柴带火药的一端方向正好相反.平移是把基本图形平行移动,并不改变带火药一端的方向,所以只有选项B是正确的.

  评注要解答本题,不仅要理解平移的定义和意义,即平移只改变图形的位置,并不改变图形的大小和形状,而且还要有较强的观察能力和识图能力.

  二、面积或周长问题.

  例2花园内有一块边长为的正方形土地,园艺师设计了三种不同图案,如图A、B、C所示,其中的阴影部分用于种植花草.试比较这三种方案中用于种植花草部分的面积的大小.

  (图A) (图B) (图C)

  分析结合图形,采用平移这种运动变化的方法来观察、分析、解决问题.

  解以图A为基准,将图B中左边的半圆向右平移a/2,右边的半圆向左平移a/2,恰好得到一个半径为a/2的圆;同理,对图C中的1/4圆进行适当地平移亦可得到一个半径为a/2的圆.因此,这三种方案中用于种植花草部分的面积均可用“正方形的面积-1个半径为a/2的圆的面积”求得,所以它们的面积是相等的.

  评注(1)在解这类图形题时,若能全方位地审视图形,全面掌握图形所提供的信息,通过比较、想象,就有利于寻找较为简便的方法来解决问题.(2)本例还可先求出各图中阴影部分的面积后再来比较它们的大小.同学们试试看.

  例3如图1,张三打算在院子里种上蔬菜,已知院子为东西长32m,南北宽20m的长方形。为了行走方便,要修筑同样宽的三条道路:东西两条,南北一条,南北道路垂直于东西道路,余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜,若道路的宽均为1m,求蔬菜的总种植面积是多少?

  解析:本题考虑的方式有多种,若从平移的角度去考虑,则只需将道路平移到边上去。如图2,将三条道路平移到边上去,则空白部分的面积即蔬菜的种植总面积,因此蔬菜的总种植面积为(20-2×1)(32-1)=558(m2)。

  评注:平移前后,图形的大小、形状没有改变,则图形的面积也没有改变。利用平移的这一特征可以巧算某些图形的面积。

  三、图案设计方案问题.

  例4下面花边中的图案是以正方形为框架,由圆弧和圆构成的.

  (1)此花边图案可以看作是由某一基本的图形沿着一定的方向平移若干次而产生的.请画出这个基本图形.

  (2)仿照例图,请你为班级的黑板报设计一条花边.

  要求:①只要即可,不写画法,不需配合文字;②花边的

  图案能够通过所画的基本图形平移若干次后而得到;

  ③以右面的正方形为框架,用圆弧或圆为基本线条画出;

  ④图案应简洁漂亮,与例图不同.

  分析(1)观察花边图案与图案的局部,找出基本图形.(2)设计花边图案的关键在于在正方形框架内画出组成花边的一个基本图形.

  解(1)此花边图案可以看着是由形如“”的基本图形向右平移7次后得到的.

  (2)下面画出了三种符合条件的基本图形:

  评注(1)本例是图形的平移在日常生活中的一个简单应用.当设计一个连续性的图案时,关键是要先画好其中的一个基本图形,然后通过这个基本图形的若干次平移即可得到漂亮的连续性图案了.(2)仿画图案,需要通过观察,弄清楚图案的结构,然后确定作图的步骤.(3)本例还有许多符合条件的基本图形,你能再画几个吗?试试看.

  四、俄罗斯方块的游戏

  例5电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏,游戏的规则是:在所给的各种各样的方块中通过平移方式,罗列方块使之排满每一横行,便消去一行,得100分,依次类推(本题特殊规定只准平移)。

  现在电脑屏幕上显示如图5:(1)若按规定,想得分,甲方块需用怎样平移,才可能直接得分或为以后得分打基础?乙方块呢?(2)若你把甲方块放到左侧,发现屏幕已暗示出丙方块为“”形状,在这种情况下,丙方块只需如何移动,便可得多少分?(注屏幕上一共有10行)

  分析(1)观察甲方块与底部方块的特点,可得出平移方式。

  (2)将方块丙平移嵌入空隙中即可得分。

  解(1)甲方块可以左移3个方格,下移7个方格放到屏幕

  左侧;乙方块需向右平移3个方格,下移8个方格,放到屏幕右

  侧(可用其它平移方式)。

  (2)丙方块下移7个方格便可排满2行得分200。

  评注解本题的关键是将各个方格通过平移嵌成一个长方形。需要根据方块和现有的图形选择合理的平移方式。

  平移在实际生活中的应用

  平移是图形的一种基本变换,在日常生活应用也十分广泛.现举例说明:

  例1.如图1(a),在长为m,宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路,则余下草坪的面积可表示为;如图1(b),现为了增加美感,把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路,则此时余下草坪的面积为.

  解析:利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知,图1(a)和图1(b)的阴影部分经过平移可以组成一个长方形,如图1(c).则图1(a)中的长为a,宽为(b-1),所以面积为:a(b-1)=ab-a;图1(b)中的长为a,宽为(b-1),所以面积为:a(b-1)=ab-a.

  说明:这里通过平移的知识,使求解简洁、方便.

  例2.如图2,在高为2米,水平距离为3米楼梯的表面铺地毯,地毯的长度至少需米.

  解析:把每阶楼梯的高沿水平方向平移,和就是楼梯的总高度;

  把每阶楼梯的宽沿竖直方向平移正好构成了楼梯的总长度,

  再把楼梯的总高度和总长度相加,即得地毯的长度至少需2+3=5(米).

  例3.如图3,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?

  解析:从A到B要走的路线是A→M→N→B,如图3,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移MN到AC,从C到B应是余下的路程,连结BC的线段即为最短的,此时不难说明点N即为建桥位置,MN即为所建的桥.

  例4.“小小竹排江中游,滔滔江水向东流……”这首歌是那样熟悉、那样亲切,现在我们来研究一个关于竹排的问题.如图4,静止的湖面上,西南风将一块四边形的竹排以每分钟0.5米的速度向前推进,问10分钟后此竹排沿着什么方向平移了多少米?画图表示.

  解析:由题意可知,竹排平移的方向为西南风的方向即北偏东45?/SPAN>,竹排平移的距离为0.5×10=5(米).画图如图5所示.

  说明:由平移的特征可知,对应线段平行且相等.对应点的连线平行且相等.此题通过实际问题体验平移现象,理解平行特征,结合方向角、行程计算,认识知识之间的联系,不可孤立看问题.

  生活中利用平移解决问题的例子还有很多,如室内地面砖图案,电梯上下移动,火车在笔直的铁轨上飞驰等都采用了平移变换的思想,给生活带来了方便.(来源:凤凰数学网)

  • 上一篇:山鸡起舞
  • 下一篇:没有了
  • © 2013-2014 GAOXINGUOJINEWS [广元专科培训校园网]All Rights Reserved